Леонид Яковлевич Куликов родился в 1914 году в Донецкой области. Закончив школу, Л. Я. Куликов некоторое время работал библиотекарем. Увлечение математикой привело его в 1934 г. на физико-математический факультет МГПИ. Яркий математический талант студента Куликова был по достоинству оценен многими крупными учеными. После окончания института он был оставлен в аспирантуре и в мае 1941 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему «К теории абелевых групп произвольной мощности». Эта работа сразу же получила самую высокую оценку математической общественности и принесла ее автору широкую международную известность. В 1951 г. Л. Я. Куликов защитил докторскую диссертацию на тему «Обобщенные примарные группы». Математические работы Леонида Яковлевича отличаются исключительной глубиной, все они в настоящее время являются классическими и входят в золотом фонд алгебраической науки. Идеи и методы, разработанные в них, лежат в основе современной теории абелевых групп.
Фактически именно благодаря работам Л. Я. Куликова теория абелевых групп выделилась в отдельную ветвь современной алгебры. Известный венгерский математик Т. Селе в 1954 г. писал: «Сегодня уже всякому очевидно, что самый ценный вклад в теорию бесконечных абелевых групп внесен именно Леонидом Яковлевичем Куликовым и что Леонид Яковлевич Куликов также и в мировом масштабе является самым крупным ученым в этой области».
Позже крупнейший советский алгебраист академик А. И. Мальцев так отзывался о научной деятельности Леонида Яковлевича: «Л. Я. Куликов — один из выдающихся современных алгебраистов, один из главных создателей современной теории коммутативных групп. Заслуги его в этой области нельзя переоценить. Чтобы убедиться в этом, достаточно перелистать главы по теории коммутативных групп в монографии А. Г. Куроша «Теория групп» или посмотреть фундаментальное руководство Л. Фукса. Почти в каждом параграфе мы находим имя Л. Я. Куликова. Большинство фундаментальных теорем или принадлежит Л. Я. Куликову, или же ему принадлежит их современная формулировка».